George Pólya đưa ra một chứng minh cho bất đẳng thức như sau. Gọi f(x) = ex−1 − x, có đạo hàm f'(x) = ex−1 − 1. Ta thấy f'(1) = 0 và từ đó f có giá trị nhỏ nhất tại f(1) = 0. Từ đó x ≤ ex−1 đối với mọi số thực x.

Xét một dãy các số thực không âm a 1 , a 2 , … , a n {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} với trung bình cộng μ. Áp dụng bất đẳng thức ở trên ta có:

a 1 μ a 2 μ ⋯ a n μ ≤ e a 1 μ − 1 e a 2 μ − 1 ⋯ e a n μ − 1 = exp ⁡ ( a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 ) . ( 1 ) {\displaystyle {{\frac {a_{1}}{\mu }}{\frac {a_{2}}{\mu }}\cdots {\frac {a_{n}}{\mu }}}\leq {e^{{\frac {a_{1}}{\mu }}-1}e^{{\frac {a_{2}}{\mu }}-1}\cdots e^{{\frac {a_{n}}{\mu }}-1}}=\exp \left({\frac {a_{1}}{\mu }}-1+{\frac {a_{2}}{\mu }}-1+\cdots +{\frac {a_{n}}{\mu }}-1\right).\qquad (1)}

Nhưng số mũ có thể rút gọn thành:

a 1 μ − 1 + a 2 μ − 1 + ⋯ + a n μ − 1 = ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) μ − n = n − n = 0. {\displaystyle {\frac {a_{1}}{\mu }}-1+{\frac {a_{2}}{\mu }}-1+\cdots +{\frac {a_{n}}{\mu }}-1={\frac {(a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n})}{\mu }}-n=n-n=0.}

Trở lại (1),

a 1 a 2 ⋯ a n μ n ≤ e 0 = 1 {\displaystyle {\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{\mu ^{n}}}\leq e^{0}=1}

và tương đương với:[1]

a 1 a 2 ⋯ a n ≤ μ n ⟹ a 1 a 2 ⋯ a n n ≤ μ . {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\leq \mu ^{n}\implies {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\leq \mu .}